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Teorema de Pitágoras

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En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al opuesto al ángulo recto, hipotenusa.

La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también semejantes al original.

El teorema de Pitágoras señala:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Dicho de otra manera: En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos.

 

 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS POR DIVERSOS MÉTODOS

Demostración mediante el cálculo de áreas

La primera demostración se basa en el hecho de que dos cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud deben tener la misma área. También se usa el cálculo del área de una figura mediante la suma de las áreas de las partes en que se divide dicha figura.

El triángulo ABC es rectángulo.

El C = 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

Se construyen dos cuadrados de lado a + b y se divide esta longitud en segmentos de longitudes a y b, como se muestra en las figuras.

Puesto que los dos cuadrados tienen lados de longitud a + b, los dos tienen la misma área.

El área del cuadrado que se dividió en cuadrados y rectángulos es:

A = a 2 + 2ab + b 2

Como las áreas son iguales, se tiene 2ab + c2 = a2 + 2ab + b2. Restando 2 ab de ambos miembros de la igualdad se llega a:

c 2 = a 2 + b 2

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Demostración usando longitudes de segmentos

Si en lugar de las áreas se consideran longitudes de segmentos, el teorema de Pitágoras se puede enunciar así: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo es igual que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos semejantes entre sí, y también semejantes al triángulo original.

En el triángulo rectángulo ABC se tiene:

El C = 90°, c es la hipotenusa, a y b son los catetos, es la altura sobre la hipotenusa.

Para facilitar el siguiente paso, se dibujan los triángulos semejantes como aparecen en la figura anterior.

Aplicando la propiedad fundamental a las proporciones anteriores, se obtiene:

Sumando las dos igualdades, miembro a miembro, se tiene que:

Factorizando c en el segundo miembro, resulta:
Demostración geométrica mediante superposición de figuras

1. Se traza un triángulo rectángulo ABC en el que C sea igual a 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

2. Ahora se trazan los cuadrados cuyos lados tienen longitudes a, b y c de manera respectiva.

3. Se tratará de probar, mediante superposición, que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Para lo cual se requiere:

4. Localizar el punto medio M del cuadrado de longitud b, lo que se logra trazando las diagonales de dicho cuadrado.

5. Por el punto M, se trazan rectas paralelas a los lados del cuadrado construido sobre la hipotenusa  .

6. Se recorta el cuadrado cuyo lado es a y las partes del cuadrado cuyo lado es b.

7. Se colocan las figuras recortadas sobre el cuadrado cuyo lado es c, como se indica en la figura.

8. Si se cubre exactamente el cuadrado, se cumple que:

c2 = a2 + b2

 

Fuente : http://www.tareasya.com.mx